冰川冻土, 2020, 42(1): 265-275 doi: 10.7522/j.issn.1000-0240.2020.0032

冰冻圈技术

时域反射仪（TDR）测定土壤含水量标定曲线评价与方案推荐

徐玲玲,1, 高彩虹1, 王佳铭1, 金会军2, 吴青柏2, DYCK Miles3, 何海龙,1,2

1.西北农林科技大学 资源环境学院 旱区农业水土工程教育部重点实验室，陕西 杨凌 712100

2.中国科学院 西北生态环境资源研究院 冻土工程国家重点实验室，甘肃 兰州 730000

3.University of Alberta，Edmonton AB T6G 2E3，Canada

Evaluation and analysis of TDR calibration curves for soil water content measurement

XU Lingling,1, GAO Caihong1, WANG Jiaming1, JIN Huijun2, WU Qingbai2, DYCK Miles3, HE Hailong,1,2

1.Key Laboratory of Agricultural Soil and Water Engineering in Arid and Semiarid Areas，Ministry of Education，College of Natural Resources and Environment，Northwest A & F University，Yangling 712100，Shaanxi，China

2.State Key Laboratory of Frozen Soil Engineering，Northwest Institute of Eco-Environment and Resources，Chinese Academy of Sciences，Lanzhou 730000，China

3.University of Alberta，Edmonton AB T6G 2E3，Canada

通讯作者: 何海龙， 副教授， 从事土壤物理、 水土保持相关研究. E-mail： hailong.he@nwafu.edu.cn.

编委: 周成林

收稿日期: 2019-04-22   修回日期: 2020-04-08  

基金资助: 国家自然科学基金项目.  41501231.  41877015
陕西省自然科学基金项目.  2016JQ4008.  2020JM-169
西北农林科技大学青年英才培育计划
冻土工程国家重点实验室开放基金项目.  SKLFSE201503.  SKLFSE201905
高等学校学科创新引智计划.  B12007

Received: 2019-04-22   Revised: 2020-04-08  

作者简介 About authors

徐玲玲（1994-），女，陕西西安人，2017年在西北农林科技大学获学士学位，现为浙江大学在读博士研究生，从事植物重金属研究.E-mail：11714049@zju.edu.cn , E-mail：11714049@zju.edu.cn

摘要

时域反射仪（Time Domain Reflectometry）可用于室内和田间快速、 准确、 自动测定土壤含水量， 是目前应用最广泛的土壤含水量测定方法之一。适宜的土壤含水量标定曲线（即土壤表观介电常数和土壤含水量之间的关系）是TDR准确测定土壤含水量的关键。目前文献中存在大量的土壤含水量标定曲线， 但尚未有研究对这些标定曲线进行系统的验证和分析评价。因此， 它们的准确性和适用范围尚不明晰， 严重影响到与土壤含水量测定相关的研究。通过查阅大量国内外文献， 收集整理了一系列土壤含水量标定曲线的经验公式（19个）和半经验半物理模型（5个）， 并利用大量的文献实测数据对其进行综合评价。同时运用均方根差（RMSE）， 平均误差（AD）， 纳什效率系数（NSE）等三个指标对比分析和评价这些标定曲线的准确性和可靠性。研究结果表明： 经验公式中Topp、 Roth（1992）2、 Jacobosen、 Yoshikawa2、 Alharathi模型和半经验模型中Malicki1公式及其修订模型综合性能较好。研究成果可为利用TDR准确测定土壤含水量及土壤含水量标定曲线的选择提供参考和指导。

关键词： 时域反射仪（TDR） ; 土壤含水量标定曲线 ; 土壤含水量 ; 经验公式/模型 ; 半经验公式/模型

Abstract

As a rapid， accurate and economic way for measuring soil water content， time domain reflectometry （TDR） has been widely used around the world. Appropriate TDR calibration curve （i.e.， the relationship between the soil apparent dielectric constant and soil water content） is critical for the accurate measurement of soil water content. At present， many TDR calibration curves are available in literature and the accuracy of the soil water measurement is largely determined by the choice of TDR calibration curves. However， no study attempted to systematically verify or assess their performance. The objectives of the study were therefore to collect the available empirical and semi-empirical formulas in literature， and evaluate them with a compiled high quality literature data. A total of 19 empirical models and 5 semi-empirical models were collated. Their performances were evaluated by three indices including the root mean squared error （RMSE）， average deviation （AD）， and NSE. The result showed that the formulas of Jacobsen， Topp， Roth（1992）2， Jacobosen， Yoshikawa2， Alharathi and four Malicki functions have the best performance based on NSE， AD and RMSE indices. Because of the nature of empirical models， empirical and semi-empirical TDR calibration curves can only be used for certain types of soils tested. The reader are encouraged to test or establish new calibration curves using the recommended calibration curves with new parameters for soils not mentioned in this study. The result of this study will contribute to the appropriate selection of TDR calibration curves for accurate measurement of soil water content.

Keywords： time domain reflectometry （TDR） ; water content calibration curve ; soil water content ; empirical model ; semi-empirical model

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本文引用格式

徐玲玲, 高彩虹, 王佳铭, 金会军, 吴青柏, DYCK Miles, 何海龙. 时域反射仪（TDR）测定土壤含水量标定曲线评价与方案推荐[J]. 冰川冻土, 2020, 42(1): 265-275 doi:10.7522/j.issn.1000-0240.2020.0032

XU Lingling, GAO Caihong, WANG Jiaming, JIN Huijun, WU Qingbai, DYCK Miles, HE Hailong. Evaluation and analysis of TDR calibration curves for soil water content measurement[J]. Journal of Glaciology and Geocryology, 2020, 42(1): 265-275 doi:10.7522/j.issn.1000-0240.2020.0032

0 引言

土壤含水量的测定是农业、 园艺、 林业、 生态学、 水文学、 土木工程、 废弃物管理及其他环境领域调查研究的基础。土壤含水量同时也是开展农业、 水文和气象等数值模拟研究的必须参数。例如： 在农业领域， 土壤水分的准确测定对水资源的合理有效规划， 灌溉管理， 干旱和涝渍预报， 作物生长状况监测等至关重要［1］。气候变化及不合理的人为活动导致水资源问题日益突出， 快速、 准确和经济测定土壤含水量对做出科学的决策， 采取合理及时的管理措施就显得尤为重要。此外， 土壤含水量影响着在水文和气象学研究中地表能量分配、 大气潜在热量交换、 降水入渗及产汇流等过程［2］。因此， 土壤含水量的准确测定能更好地了解农业管理体系对土壤-植物-大气连续体系的影响， 以及地球关键带中水分和能量的运移［3］。

目前， 土壤含水量测定方法有很多种。其中， 烘干称重法是公认的最准确、 直接的方法［4］， 其测定的结果为重量含水量。但这种方法耗时费力， 因对土体具有破坏性且不能对同一土样重复测定获得连续的土壤水分状况， 所以大多用作土壤含水量的标定。中子仪法和γ射线法在早期土壤含水量的原位测定中应用比较广泛， 但这两种方法测定的土壤含水量（尤其是表层含水量）存在测定不准确需要校正的问题［5-7］， 且他们都有潜在的辐射危害而在研究中逐渐被禁止。TDR在土壤学中的应用始于20世纪80年代， 它测量速度快、 对土壤结构影响小、 测定结果准确、 自动化程度高， 是目前连续、 定位、 自动、 准确监测土壤含水量最常用的方法［8-10］。

时域反射仪（Time Domain Reflectometry， TDR）技术通过监测电磁脉冲信号在土壤中的传播时间来计算土壤的表观介电常数（apparent permittivity， Ka ）， 再根据土壤各组分含量及其介电常数之间的关系计算得到土壤含水量。目前基于时域反射技术测定土壤含水量的常用公式有经验公式/模型、 半经验公式（半经验-半物理模型）和物理模型（或多相混合模型）三种［9，11］。

经验公式是通过拟合实测数据而得到类似于θ=a+bKa+cKa2+dKa3+....（其中a， b， c， d为模型系数）的线性回归模型， 并据此计算土壤含水量。Topp公式［1］是现行融土（未冻土）研究中应用最广泛的经验公式， 部分研究者还运用该公式计算冻土中未冻水含量。物理模型/多相混合模型将土壤视作为一个多相体系， 根据土壤的表观介电常数与土壤组分介电常数、 体积、 各组分间的相互作用关系而建立的具有物理意义的模型［9］。两相到四相的混合模型已广泛应用于融土中（如： Birchak等［12］， Dobson等［13］， Sihvola等［14］， Roth等［6］， Sareni等［15］， Friedman［16］， Sihvola［17］及Jones等［18］模型）。半经验公式则是间于经验公式和物理模型之间， 这一类的模型公式不仅包含了TDR测定的表观/有效介电常数， 还进一步考虑了土壤的物理特性（如： 容重、 孔隙度、 盐碱度和温度等）。如Malicki模型公式及其修订公式等［19］。

基于物理模型的TDR土壤含水量标定曲线具有一定的物理意义， 但通常更复杂。相对而言， 基于经验模型和半经验模型的标定曲线通常更利于编程用于批量计算， 因而有着更广泛的应用。但是， 目前国内外学者提出的众多经验和半经验/物理模型， 其适用范围和准确性尚不明确［16，20］。例如： Topp公式适于大多数的土壤， 但进一步的研究表明对于质地较细密或导电的土壤， 仍需公式校正［3］， 而其他模型则因特定的土壤类型、 质地、 含水量区间等， 造成实际应用的不便。因此， 针对不同的土壤类型， 选取合适的模型成为TDR准确应用的关键［21］。TDR测定土壤含水量标定曲线适用性和准确性的评价与分析对TDR技术的应用与推广有着十分重要的意义［22］。

本研究将利用从文献中提取的世界不同地区和不同土壤类型的实测数据对主要的经验和半经验模型公式进行拟合分析， 评价其在融土中的适用性和准确性。从而为广大科研工作者或实践者提供理论和技术参考， 促进TDR技术在该领域更广泛和准确的应用。

1 材料与方法

1.1　TDR的测定原理

简要地说， TDR是通过测定电磁波在不同介质中的传播时间来确定土壤的表观介电常数（Ka ）。然后根据建立的θ ~ Ka 关系来计算土壤含水量。我们常说的TDR方法主要基于TDR电缆检测仪（包含电磁脉冲发生器和取样示波器）和TDR探针（两针或多针）。电磁脉冲发生器产生的电磁波（0.5 ~ 1.5 GHz， 如： Tektronix 1502B/C 及TDR100/200等）顺着插在土壤中的TDR探针传送到土壤介质中， 而示波器则在电磁波传输过程中进行取样而得到电压/振幅随时间/距离变化的值（图1）［10］。即电磁波在传播过程中， 一部分电磁波会因为电缆和探针阻抗的不同， 在传到探针顶端时就被反射回来， 剩余部分的电磁波则会通过探针达到底部被反射回来。电磁波从探针顶端到底端反射回来的往返时间（t）可以通过电缆检测器上的取样示波器测定。表达式如下［23］：

图1

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图1   TDR原理图

y轴和x轴的分别代表电磁波波形经历的单位电压和时间；L代表探针长；tt/2代表单程时间；t1代表电磁波脉冲从手柄处发出的时间；t2代表电磁波脉冲到达底端并返回来的时间。Cable为连接双针TDR探针（2-rod TDR sensor）及扩展板或TDR的同轴电缆

Fig.1   TDR principles-relationship of TDR probe parts （top） to TDR cable tester recorded wave form features （bottom）

The units are voltage and time for y- and x-axis，respectively. L- rod length，tt/2 - one way travel time，t1 - the time when the step pulse enter the probe handle，and t2 - time when pulse reaches the rod end and is reflected back


t=2LKa0.5c

式中： t是电磁波往返传播的时间（s）； L是TDR探针长度（m）； Ka 是介质的表观介电常数； c是电磁波在真空中的传播速度（3×108 m·s-1）。由此可知， 对于确定的TDR仪， 测定了电磁波往返传播的时间t， 即可确定土壤介电常数。整理式（1）得到土壤的Ka ：

Ka=ct2L2

在20 ℃时， 水的介电常数是80， 土壤固体的介电常数约2 ~ 5， 空气的介电常数为1［9］。因为水的介电常数远远大于空气或土壤固体颗粒的介电常数， 所以土壤的表观/有效介电常数主要受土壤含水量的影响［7］。因此， 根据表观介电常数可以对土壤含水量进行估计。据此建立的θ ~ Ka 或Ka ~ θ关系可以用于计算土壤含水量。本研究将主要介绍文献中的经验公式/模型、 半经验公式/模型。

1.2　土壤含水量测定的经验/半经验模型公式

通过广泛查阅国内外相关文献资料， 本研究共收集整理了19种经验公式和5种半经验公式。具体情况如下。

1.2.1　经验公式

经验公式通常将TDR测定的表观介电常数与其他方法（如： 烘干法）测定的土壤含水量进行拟合， 一般不考虑其他因素的影响， 如： 体积密度、 孔隙度或有机质含量等。所以经验公式（表1）大多是三项式或多项式的形式［9-10］：

θ=a1+a2Ka+a3Ka2+a4Ka3

式中： 系数a1， a2， a3， a4为拟合参数， 其值由土壤质地和类型等决定。经验公式是拟合表观介电常数与土壤含水量最常用的方法［24］， 常见的经验公式如下或见表1。

表1   土壤含水量测定经验公式参数及其适用范围

Table 1  Parameters and applicability of empirical formulas for soil water content measurement

序号模型参考文献拟合系数建立模型的土壤类型
a1a2a3a4
θv=a1+a2·K+a3·K2+a4·K3+a5K4
1Delta TDR1.81290.9610--矿物土。供试土壤取自黑河上游青海省海北藏族自治州境内阿柔乡的草场地区沙（>0.05 mm）占29.45%， 粉沙（0.002~0.05 mm）占69.3%， 黏土（<0.002 mm）占1.25%
2Steven 15.10740.8502--壤土
3Steven 22.39000.9980--壤土， 土壤有机碳平均含量为1.3%， 全氮平均含量为0.16%
4Pepin et al. （1992）［26］8.50×10-21.92×10-2-0.95×10-4有机土壤
5Topp et al. （1980）［1］-5.3×10-22.92×10-2-5.5×10-44.3×10-6质地比较粗的土壤， 不适合质地细而密实的黏土
6Smith and Tice， （1988）［27］-1.458×10-13.868×10-2-8.502×10-49.920×10-6多种土壤
7Roth et al. （1992）［25］2.33×10-22.85×10-2-4.31×10-43.04×10-6矿物土和有机土， 矿物质土壤中含有10%~55%的有机质成分
8Kellner and Lundin （2001）［30］3.90×10-23.17×10-2-4.50×10-42.6×10-6有机土壤
9Roth et al.（1992）1［25］-0.07280.0448-0.001950.0000361矿质土壤
10Roth et al. （1992）2［25］-0.02330.0285-0.0004310.00000304有机质土壤
11Roth et al. （1992）3［25］-0.09810.0529-0.001980.0000273磁性土壤
12Roth et al. （1992）4［25］-0.09270.0460-0.001990.0000298玻璃珠、 蒙脱石等
13Formula-0.21910.085-0.00360.00005南方红壤地区
14Dobson et al.［13］2.37（-5.24+0.55×%sand+0.15×%clay）（146.04-0.74×%sand-0.85×%clay）-clay是土壤黏粒含量（%）， sand是砂粒含量（%）
15Jacobsen［31］-3.41×10-2-（3.70×10-2ρb ）+（7.36×10-4%clay）+（47.7×10-4%om）3.45×10-2-11.4×10-417.1×10-6ρb 是土壤容重（g·cm-3）， om是土壤有机质含量（%）
θ=a1+a2(Ka)+a3(Ka)2+a4(Ka)3
16Yoshikawa et al.［29］-0.62860.4337-5.49×10-20.33×10-2含苔藓残体的有机土壤（Dead sphagnum moss）
17Yoshikawa et al.［29］-0.16250.1108-0.21×10-24.33×10-4含活苔藓的有机土壤（Live sphagnum moss）
18Alharathi and Lange［28］-0.2040.128--砂土（23 ℃）
统计模型 εeff(n,θ)=a0(n)+a1(n)θ+a2(n)θ2+a3(n)θ3
19Friedman［16］2.35n-0.398-49.54+509.7n-1241.5n2+839.7n3513-3708.9n+9129.8n2-6562n3-n表示孔隙率， n=1-ρb/ρs， ρs 土粒密度g·cm-3， 且εs =4，εw =80， εA =1

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（1）　Topp公式

1980年Topp等［1］在大量的实验数据基础上首次提出了如下的经验回归公式：

θ=- 0.053+0.0292Ka- 0.00055Ka2+0.0000043Ka3

该模型的优点是只需利用TDR测定介电常数便可求得体积含水量， 不需要测定其他土壤参数。

（2）　Roth公式

Roth等［25］选取了11种矿质土壤和7种理化性质不同的有机土壤层样品， 利用TDR进行试验校正， 分别得到了四种不同的θ ~ Ka 关系。矿质土壤含水量的计算如下（R2 = 0.985， 标准偏差SD = 0.015 cm3·cm-3）：

Ka=- 0.0728+0.0448θ- 0.00195θ2+0.0000361θ3

有机质土壤含水量计算公式为（R2 = 0.971， SD = 0.036 cm3·cm-3）：

Ka=- 0.0233+0.0285θ- 0.000431θ2+0.00000304θ3

式（6）中的参数与Topp等［1］对有机土壤的观察结果类似， 但都与矿质土壤有着很大的偏差。

对于磁性土壤， 土壤含水量计算公式为（R2 = 0.971， SD = 0.036 cm3·cm-3）：

Ka=- 0.0981+0.0529θ-0.00198θ2+0.0000273θ3

多孔土壤替代物的含水量可根据下式计算（R2 = 0.973， SD = 0.015 cm3·cm-3）

Ka=- 0.0927+0.0460θ- 0.00199θ2+0.0000298θ3
（3）　Pepin公式

在1989—1990年之间的夏季， Pepin等［26］在加拿大地区的森林沼泽地区对不同深度的泥沼土壤层用TDR测定土壤含水量， 建立了如下的关系式：

θ=0.085+0.0192Ka- 0.000095Ka2
（4）　Smith公式

通过对17种不同土壤进行测定分析， Smith和Tice［27］得到了冻土中未冻水（液态水）与土壤Ka 之间的一个三项关系式（SD = 0.016 cm3·cm-3）：

θ=- 0.1458+0.03868Ka- 0.0008502Ka2+0.00000992Ka3
（5）　Alharthi模型

通过对室温条件下的低含水量（< 60%）的类似的砂壤土进行试验测定， Alharthi和Lange［28］得到如下的关系式：

θ=0.128Ka- 0.204

该式提供了一种通过测定湿润土壤的混合介电常数从而确定含水量的简单方法。

（6）　Yoshikawa模型

通过对实验室条件下死、 活苔藓有机土壤的含水量的多次测定， Yoshikawa［29］对TDR测定结果的校正， 得到死水苔藓有机土壤关系式（R2 = 0.997）：

θ=- 0.6286+0.4337Ka- 0.0549(Ka)2+0.0033(Ka)3

活水苔藓有机土壤（R2 = 0.995）的含水量由下式计算：

θ=- 0.1625+0.1108Ka- 0.0021(Ka)2+0.0433(Ka)3
（7）　Kellner模型

通过对瑞士Stormossen地区的8种泥炭土壤进行TDR测定分析， Kellner和Lundin［30］得到如下关系：

θ=0.039+0.0317Ka- 0.00045Ka2+0.0000026Ka3

该式的R2 = 0.968。泥炭土壤具有容重小， 孔隙度大的特点， 因此， 其与矿物质土壤不同， 因而该式主要适用于泥炭土壤。

（8）　DeltaTDR模型和Steven模型

针对TDR商用探针测定不准确的情况， 研究人员在青海省海北藏族自治州境内阿柔乡的草场地区对矿物质土壤进行测定， 利用DeltaTDR进行测定， 得到如下的校正公式（R2 = 0.995）：

θ=1.8129+0.961Ka

用Steven TDR进行测定壤土得到如下的关系式（R2 = 0.987）：

θ=5.1074+0.8502Ka

而对于有机碳含量为1.3%的壤土， Steven TDR得到的关系式如下：

θ=2.3900+0.9980Ka
（9）　Jacobsen模型

通过分析来自丹麦5个地方189种犁地层土壤和深耕层土壤的测定结果， 发现只考虑土壤含水量时的TDR校正曲线拟合结果差。因此， Jacobsen和Schjønning［31］在建立模型时， 增加了黏粒和有机质含量的影响（R2 = 0.989， SD = 0.010 cm3·cm-3）：

θ=- 0.0341+0.0345Ka- 0.0011.4Ka2+0.0000171Ka3-0.037ρb+0.000736×%clay+0.00477×%om)

式中： om为有机质。

（10）　Dobson模型

为了能够对土壤含水量与表观介电常数之间的关系进行更准确的拟合描述， Dobson等［13］考虑了土壤的相应组成成分的影响：

Ka=2.37+(- 5.24+0.55×%sand+0.15×%clay)θ+(146.04- 0.74×%sand- 0.85×%clay)θ2

具体在应用时需要明确土壤的黏粒含量和砂粒含量， 所以在应用时有一定限制。该式右侧后两项的参数实质上是根据土壤的砂粒和黏粒含量通过土壤转换函数来计算， 因此该式仍属于经验模型范畴。

（11）

Friedman模型

Friedman［16］认为固相、 水相和气相三相随机分布， 形成了类似于三维的网状构型， 并且其体积含水量与孔隙度有较大的关系， 即为下式：

Ka=a0(n)+a1(n)θ+a2(n)θ2+a3(n)θ3

式中： a0（n）=2.35n-0.398， a1（n）=-49.54+509.7n-1241.5n2+839.7n3， a2（n）=513-3708.9n+9129.8n2-6562n3， a3（n）=-487.5+5605n-14717n2+11115n3， n为孔隙度， 并且固体颗粒的介电常数为4， 水的介电常数为80， 空气的介电常数为1。

1.2.2　半经验半物理模型公式

半经验半物理模型公式又可以称为介电混合模型。这一类的模型公式不仅包含了TDR测定的表观介电常数， 进一步考虑了土壤的物理特性（如： 容重、 孔隙度、 盐碱度和温度等）， 常见的Malicki模型公式及其修订公式见表2。

表2   土壤含水量测定半经验或半物理模型参数及其适用范围

Table 2  parameters and application of semi-empirical semi-physical formulas of soil water content

序号参考文献模型公式包含的参数类型（画勾选择）建立模型的土壤类型
容重孔隙度有机质盐碱度温度其他
1Malicki et al.［19］θ=(Ka0.5-0.819-0.618ρb-0.159ρb2)7.17+1.18ρb√-----Ka ≥4实验室条件下拟合良好， Ka <4因为受束缚水的影响会有较大偏差， 但考虑体积密度后有很大改善土壤质地（有机土到砂土）， 体积密度（0.13~2.67 g·cm-3）， 有机碳含量（0~487g·kg-1）
2Malicki et al. 1［19］θ=Ka-0.63-0.62ρb8.18√-----矿质土， 有机土
3Malicki et al. 2［19］θ=Ka-2.46+2.17n8.04-√----矿质土， 有机土
4Malicki et al. 3［19］θ=Ka-3.47+6.22n-3.82n27.01+6.89n-7.83n2-√----k≤n<k+0.05,k=0.30，0.35，0.40，…，0.95矿质土， 有机土
5Malicki et al.4［19］θ=Ka-1.447.16矿质土， 有机质土

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Malicki等［19］选取了62种矿质土壤和有机质土壤样品， 在仅考虑介电常数的情况下， 得到下式：

θ=Ka-1.447.16

在分别考虑土壤的容重和孔隙度后进行TDR测定， 得到了如下的公式［19］：

θ=Ka-0.819-0.168ρb-0.159ρb27.17+1.18ρb

式中： ρb 是干土壤容重（g·cm-3）。该公式转化为孔隙度与介电常数， 如下：

θ=Ka-3.47+6.22n-3.82n27.01+6.89n-7.83n2

Malicki模型在土壤容重为0.13 ~ 2.67 g·cm-3， 有机碳含量为0 ~ 487 g·kg-1的条件下拟合较好。

Roth等［6］通过对文献中9种矿质土壤和7种有机质土壤的拟合分析， 得到如下的关系式：

θ=Ka-0.63-0.62ρb8.18

根据体积密度与孔隙度之间的转化关系， 该式可转化为下式：

θ=Ka-2.46+2.17n8.04
1.3　模型拟合指标

本研究选取RMSE、 AD和NSE三项指标对拟合精确度进行分析评价［32］。

（1）　均方根差（RMSE）

均方根差是对均方差开平方后计算得到的值， 计算公式如下：

RMSE=1n∑i=1nθmeas,i-θest,i2

式中： θmeas为实测土壤含水量； θest为模拟含水量。RMSE越接近0， 拟合精度越高， 拟合效果越好。

（2）　平均误差（AD）

平均误差是模型拟合误差的简单平均值， 其计算公式如下：

AD=1n∑i=1nθmeas,i-θest,i

AD是对模型拟合误差的一个平均值， 因此， 当模型拟合偏误越大， 其AD值越大。AD越接近0表明拟合效果越好。当AD > 0时， 为正偏误， 当AD < 0时， 为负偏误。

（3）　纳什效率系数（NSE）

纳什效率系数是对模型拟合程度好坏的一个直接评价， 是模型拟合精度的一个重要评价指标， 其计算公式如下：

NSE=1-∑i=1nθmeas,i-θest,i2∑i=1nθmeas,i-θmeas¯2

式中： θmeas¯为测定土壤含水量的平均值。纳什效率系数即将模型拟合值的方差值与测定值的方差值进行对比分析。NSE越接近1， 表明拟合效果越好， 拟合精度越高； NSE = 0表示拟合值大部分接近观测值的平均值， 但是整体误差仍然较大； 如果NSE为负值， 则表明模拟值不大可信。

1.4　文献数据及处理

为了更好地对1.1节和1.2节中的经验和半经验模型的拟合性能进行评价， 我们根据如下标准收集整理文献中的实验数据： （1）包含TDR测定的表观介电常数Ka 及实测土壤含水量θ； （2）每种土壤θ ~ Ka 测定值不少于6组； （3）包含完整的土壤性质描述（如： 质地、 容重、 有机质含量、 测定温度等）。按如上标准筛选后得到397组土壤数据， 主要来自Friedman、 Roth、 Watanabe这三位研究者的研究。具体土壤信息见表3。

表3   实测数据来源及土壤背景情况表

Table 3  The background and sources of the measured data

文章来源土壤名称采样地土壤质地*砂粒/%粉粒/%黏粒/%有机质含量/%

容重/

（g·cm-3）

密度/

（g·cm-3）

孔隙度
Friedman［16］VertisolSarid， the Iyzrael valley， Israel黏土38.0010.0052.000.001.012.650.62
Friedman［16］Bet Dagan sandy loamBet Dagant he central coastal plain， Israel砂质壤土80.006.0014.000.001.382.650.48
Friedman［16］

Glass beads

（0.45 mm）

Sigmund Lindner， GermanyGlass beads---0.001.642.550.36
Roth et al.［25］haplic ferralsolParana， Brazil砂质壤土82.006.0012.001.121.442.620.45
Roth et al.［25］haplic ferralsolParana， Brazil砂质黏壤土l72.008.0018.000.351.552.670.42
Roth et al.［25］haplic luvisolGermany粉砂质黏壤土2.0075.0023.000.191.432.530.43
Roth et al.［25］chromic luvisolElba， Italy黏壤土46.0031.0023.001.001.462.630.44
Roth et al.［25］chromic luvisolElba， Italy壤质黏土35.0031.0034.000.211.542.650.42
Roth et al.［25］luvic calcisolElba， Italy黏壤土50.0026.0024.001.171.472.570.43
Roth et al.［25］luvic calcisolElba， Italy黏土26.0028.0046.000.631.312.530.48
Roth et al.［25］chernozemLublin， Poland粉砂质黏土2.0052.0046.003.361.312.280.43
Roth et al.［25］podzolGermany砂土88.0010.002.001.931.42.540.45
Roth et al.［25］Rhodic ferralsolParana， Brazil重黏土4.0016.0080.002.861.152.880.60
Roth et al.［25］Rhodic ferralsolParana， Brazil重黏土3.0016.0081.000.741.122.880.61
Roth et al.［25］C material （arenosol）Berlin砂土98.002.000.000.181.672.650.37
Roth et al.［25］Washed sandBerlin砂土99.001.000.000.001.722.650.35
Roth et al.［25］Glass beads （100 μm）Berlin砂土100.000.000.000.001.692.870.41
Roth et al.［25］MontmorillonitePoland黏土1.0036.0063.000.831.252.690.54
Roth et al.［25］peat weakly decomposedBerlin有机质土-54.80.261.210.79
Roth et al.［25］Cambic arenosolBerlin有机质土440.240.750.68
Watanabe and Wake［33］Toyoura sand （sand1）Japan----0.001.432.650.46
Watanabe and Wake［33］Toyoura sand （sand1）Japan----0.001.432.650.46
Watanabe and Wake［33］Fujinomori silt （silt loam）Japan----0.001.132.650.57
Watanabe and Wake［33］Mie Andisol （Loam）Japan----0.001.052.650.61

注：*土壤名称命名沿用原文献命名； 土壤质地采用国际土壤质地分类制

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文献数据的提取采用Plot digitalizer， 数据的拟合及模型拟合性能指标计算采用MathCAD Prime 2.0， 图形制作使用Origin 9.0。

2 结果与讨论

2.1　经验模型公式拟合结果与分析

图2是利用19种经验公式拟合TDR测定的表观介电常数与实测土壤含水量的效果图。Topp、 Roth（1992）2、 Jacobosen， Yoshikawa2和Alharathi五个模型总体拟合效果较好， 其中， NSE > 0.8， RMSE < 0.07 cm3·cm-3， AD < 0.03 cm3·cm-3（表4）。模型性能表现其次的为Smith， Roth及Roth （1992）三个模型。其余模型在低含水量（如： Formula）或高含水量区间（如： Roth （1992）4、 Ferre2）模拟效果差。图2（a）中Friedman、 Dobson、 DeltaTDR、 Steven1、 Steven2、 图2（b）中Kellner及图2（c）中Ferre、 Ferre1模型拟合结果与实测数据偏差大， 部分或全部拟合图形超出坐标范围而未能展现出来。其他模型拟合）相对较好。其中Jacbosen及Roth （1994）4公式可以模拟θ ~ Ka 测定值变化区间的下限， 而Yoshikawa1可以模拟θ ~ Ka 测定值变化区间的上限。

图2

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图2   经验公式土壤含水量拟合曲线

注：图中部分模型由于超出刻度范围而未能显示

Fig.2   Calibration curves of soil water content for empirical formulas

Note：Some of the calibration curves are not shown because their values are beyond the scale


表4   经验公式的拟合评价指标RMSE、 AD、 NSE汇总表

Table 4  RMSE， AD and NSE of the empirical formulas

模型名称RMSE/ （cm3·cm-3）AD/ （cm3·cm-3）NSE
DeltaTDR17.42-14.24-9 509.49
Steven118.36-16.08-10 555.41
Steven218.52-15.31-10 746.98
Pepin0.10-0.080.71
Topp0.070.020.86
Smith0.080.030.79
Roth0.09-0.070.756
Kellner0.13-0.110.46
Roth（1992）10.17-0.020.06
Roth（1992）20.06-0.020.88
Roth（1992）30.09-0.020.76
Roth（1992）40.120.050.58
Smith1663 425.26253 943.00-13 787 157 494 313.60
Dobson2 302 181.65-1 218 859.04-1 001 069 230 891 090.00
Jacobsen0.030.010.81
Formula0.14-0.040.38
Yoshikawa10.12-0.060.53
Yoshikawa20.070.030.87
Alharathi0.060.010.88

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2.2　半经验半物理模型拟合结果与分析

图3是Malicki及其四个修订的半经验半物理模型的拟合图， 五种模型对实测数据的拟合都较好。除了Malicki4外， 其余模型的拟合性能很接近， 各指标中， NSE ≥ 0.90， RMSE ≤ 0.05 cm3·cm-3， AD ≤ -0.01 cm3·cm-3（表5）。结果表明在考虑土壤容重或孔隙度的时候， 模型的性能有一个较大的提升， Malicki及Malicki1~3可用于准确测定土壤含水量。基于类似的方法， Malicki and Kotlinski［34］建立了用于准确预测植物茎秆含水量的预测模型， 解决了传统校正曲线只能适用于特定树种的问题。

图3

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图3   半经验半物理模型土壤含水量拟合曲线

Fig.3   Calibration curves of soil water content for semi-empirical formulas


表5   半经验半物理模型的拟合评价指标RMSE、 AD、 NSE汇总表

Table 5  RMSE， AD and NSE of semi-empirical semi-physical formulas

模型名称RMSE/（cm3·cm-3）AD/（cm3·cm-3）NSE
Malicki0.05-0.020.92
Malicki10.05-0.010.92
Malicki20.06-0.020.90
Malicki30.05-0.010.91
Malicki40.07-0.030.83

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2.3　拟合结果对比分析与讨论

据拟合图和拟合指标表的对比分析， Topp、 Roth（1992）2、 Jacobosen、 Yoshikawa2、 Alharathi模型及半经验半物理模型中Malicki1模型的拟合值和测定值的吻合度较好。虽然土壤含水量是影响土壤表观介电常数的主要因素， 但是诸如Topp［1］公式等经验回归模型在不同土壤中的适用性和精度表现不尽相同。例如， Topp公式是目前应用最广泛的方法。该公式适用于大多数的矿质土壤， 但研究表明其不适用于像盐碱土、 有机质土和质地较细密的土壤［16，20］。因此， 研究者建立了诸多类似的经验回归模型用于准确预测特定土壤的含水量。除土壤含水量外， 研究发现土壤容重、 黏粒和有机质含量等因素同样影响模型预测结果的精度。因此Malicki等［19］考虑了容重的影响， Jacobsen和Schjønning［31］在建立模型时， 增加了黏粒和有机质含量的影响， 显著提高了模型的精度和适用性。在其他土壤物理性质的预测中也存在类似的情况， 如Tian等［35］通过引入土壤容重的影响增加了van Genuchten［36］模型对土壤水分特征曲线的模拟性能。He等［32］、 Yan等［37］的研究表明考虑土壤容重、 质地的影响可以增加土壤热导率的预测精度。然而， 经验模型和半经验模型的缺陷在于模型的精度和适用范围局限于开发或校正模型的数据的类型的规模。通常情况下， 模型不能够用于预测建立模型所用数据以外的土壤类型及含水量［38-39］。因此， 针对特定的土壤类型， 研究者应该先验证这些筛选出来的模型预测的精度， 如有必要应该进行模型校正以获取更优的预测结果。

值得注意的是， 本研究所使用的数据主要是来自国内外许多已发表的文献资料， 土壤类型相对而言主要为国外的土壤类型， 而且主要是矿质土壤和有机质土壤， 冻融土壤和盐碱化土壤类型涉及较少， 所以整体而言模型的拟合效果较吻合。而对我国土壤， 因为缺乏相应资料， 其拟合效果不可一概而论， 仍需进一步的研究和拟合对比。

3 结论

本研究利用文献数据对TDR测定土壤含水量的常见的19种经验公式和5种半经验半物理模型公式进行了与实测值的拟合评价， RMSE、 AD和NSE指标的评价分析。进一步分析了每一种模型公式各自的适用条件， 模型拟合的吻合度和精确度。研究结果表明经验模型中Topp、 Roth（1992）2、 Jacobosen， Yoshikawa2、 Alharathi等五个模型性能优于其他模型。半经验半物理模型Malicki及其修订模型的拟合值和测定值的吻合度较好， 拟合曲线的变化趋势与实测值也较接近， 拟合精度明显优于经验模型。由于不同的TDR标定曲线参数适用的土壤类型有限， 对于文中未涉及的土壤类型或精确度要求较高的研究， 作者建议研究者选择普适性较好的模型类型重新进行标定以确定模型参数。本研究将为TDR测定土壤含水量， 寒旱区土壤水热耦合、 土壤水盐耦合运移， 作物根系生长以及3S技术农田土壤水分的管理等领域的准确应用奠定坚实的理论基础。

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